METODE
NUMERIK
SISTEM
PERSAMAAN NON LINIER
F(X)
= 2X3
-
2X2 - 4X - 5
Selang : X = 1 sampai X = 3
NAMA : ALVIO
YUNITA PUTRI
NIM
: 03041181520031
ANGKATAN : 2015
TANGGAL : 23 FEBRUARI 2017
JURUSAN
TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS
TEKNIK
UNIVERSITAS
SRIWIJAYA
KAMPUS INDRALAYA
2016/2017
BAB 1
PENDAHULUAN
Pada
sistem persamaan non linier untuk menyelesaikan sebuah perhitungan di
Matematika, ada enam jenis cara atau metode-metode yang dapat dilakukan, yaitu
dengan menggunakan Metode Grafik, Metode Tabulasi, Metode Biseksi / bagi dua,
Metode Regula Falsi, Metode Newton Raphson, dan Metode Sectan. Pada paper ini, terdapat
suatu persamaan non linier yang akan dikerjakan dengan menggunakan Metode
Biseksi / bagi dua, Metode Regula Falsi, dan Metode Newton Raphson. Metode
biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk mentukan solusi akar dari
persamaan non linear atau disebut juga metode pembagian Interval atau metode
yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses
iterasi. Metode regula falsi atau metode posisi palsu merupakan salah satu
solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui
proses iterasi (pengulangan). Sedangkan, Metode Newton-Raphson adalah metode
pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi
f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode
Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini
menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal
yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke
akarnya.
BAB
2
DASAR
TEORI
Tiga metode yang dipakai untuk menyelesaikan
persamaan non linear kali ini adalah Metode Biseksi / bagi
dua, Metode Regula Falsi, dan Metode Newton Raphson.
BAB 3
ANALISIS
DAN PEMBAHASAN
Soalnya adalah F(X) = 2X3
-
2X2
-
4X
–
5,
dengan selang : X = 1 sampai X = 3, Toleransi error (ε) = 0,01 atau minimal 10 iterasi.
Langkah pertama
yang harus dilakukan adalah dengan membuat grafik pada fungsi persamaan diatas.
Untuk membuat
grafiknya, masukan nilai X ke persamaan F(X) dengan X nilainya acak dan bebas.
|
X
|
F(X) = 2X3-2X2-4X-5
|
|
-3
|
-65
|
|
-2
|
-21
|
|
-1
|
-5
|
|
0
|
-5
|
|
1
|
-9
|
|
2
|
-5
|
|
3
|
19
|
Setelah di dapatkan nilai dari fungsi F(X), maka dapat dibuat grafiknya
:
Pada
suatu persamaan F(X) ini yang akan dicari adalah nilai akarnya(Xc) pada lingkaran yang berwarna merah diantara X
= 1 sampai X = 3.
1.
Metode Biseksi
/ bagi dua
Langkah-langkah
yang harus dilakukan pada Metode Biseksi / bagi dua
adalah :
-
Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah menentukan dua selang yang akan digunakan untuk mendapatkan potongan
tengahnya, pada soal telah diberi
pendekatan yaitu selangnya berada pada Xa = 1 sampai Xb = 3.
-
Sehingga untuk mendapatkan nilai tengah
pada suatu persamaan F(X), maka gunakan rumus seperti pada dasar teori.
-
Setelah didapatkan nilai Xa, Xb, dan Xc
kemudian masukan ke dalam
Persamaan
F(X).
F(X)
= 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
-
F(Xa)
= 2(Xa)3
-
2(Xa)2 – 4(Xa) – 5
F(1)
= 2(1)3 - 2(1)2 – 4(1) – 5
F(1)
= 2 – 2 – 4 -5 = -9
-
F(Xb)
= 2(Xb)3
-
2(Xb)2 – 4(Xb) – 5
F(3)
= 2(3)3 - 2(3)2 – 4(3) – 5
F(3)
= 2(27) – 2(9) – 12 - 5
F(3)
= 54 – 18 – 12 – 5 = 19
-
F(Xc)
= 2(Xc)3
-
2(Xc)2 – 4(Xc) – 5
F(2)
= 2(2)3 - 2(2)2 – 4(2) – 5
F(2)
= 2(8) – 2(4) – 8 - 5
F(2)
= 16 – 8 - 8 -5 = -5
-
Sehingga didapatkan fungsi dari F(Xa),
F(Xb), dan F(Xc) dan kemudian dimasukkan ke dalam Tabel 1.1 Metode Biseksi
-
Untuk iterasi kedua dan selanjutnya maka
bandingkan nilai F(Xc) dengan nilai F(Xa) dan F(Xb), apabila nilai F(Xc)
bertanda positif maka carilah nilai F(Xa) atau F(Xb) yang bertanda negatif,
begitu juga sebaliknya.
-
Setelah dibandingkan, Masukan lagi nilai
Xc dengan nilai Xa atau Xb, kemudian masukkan ke dalam rumus Xc lagi dan
lakukan berulang-ulang sampai nilai F(Xc) mendekati angka nol (0) atau memenuhi
angka toleransi errornya (ε)
yaitu 0,01.
Bila
disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan dengan Metode Biseksi / bagi dua dengan beberapa kali
iterasi adalah sebagai berikut :
|
i
|
Xa
|
Xb
|
Xc
|
F(Xa)
|
F(Xb)
|
F(Xc)
|
Error(%)
|
|
0
|
1
|
3
|
2
|
-9
|
19
|
-5
|
-
|
|
1
|
2
|
3
|
2.5
|
-5
|
19
|
3.75
|
20
|
|
2
|
2
|
2.5
|
2.25
|
-5
|
3.75
|
-1.34375
|
11.11111
|
|
3
|
2.25
|
2.5
|
2.375
|
-1.3438
|
3.75
|
1.01172
|
5.263158
|
|
4
|
2.25
|
2.375
|
2.313
|
-1.3438
|
1.0117
|
-0.2124
|
2.702703
|
|
5
|
2.31
|
2.375
|
2.344
|
-0.2124
|
1.0117
|
0.38788
|
1.333333
|
|
6
|
2.31
|
2.344
|
2.328
|
-0.2124
|
0.3879
|
0.08482
|
0.671141
|
|
7
|
2.31
|
2.328
|
2.32
|
-0.2124
|
0.0848
|
-0.06452
|
0.3367
|
|
8
|
2.33
|
2.32
|
2.324
|
0.08482
|
-0.065
|
0.00997
|
0.168067
|
|
9
|
2.32
|
2.324
|
2.322
|
-0.0645
|
0.01
|
-0.02732
|
0.084104
|
|
10
|
2.32
|
2.324
|
2.323
|
-0.0273
|
0.01
|
-0.00869
|
0.042034
|
Tabel
1.1 Metode Biseksi / bagi
dua
Berdasarkan pada tabel
diatas (Tabel 1.1), telah dilakukan
iterasi sebanyak 10 kali.
Pada iterasi ke-8 saat
Xa = 2,33; Xb = 2,32 dan Xc = 2,324 nilai F(Xc) telah memenuhi toleransi
errornya (ε)
yaitu 0,00997 karena 0,00997 < 0,01. Jadi, untuk metode biseksi ini pada
iterasi ke-8, iterasi dapat dihentikan (stop). Tetapi, apabila nilai F(Xc) masih
kurang cukup lakukan iterasi lagi sampai nilainya sangat mendekati nol (0).
Sehingga, akar dari persamaan
F(X) = 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
dengan
menggunakan Metode Biseksi / bagi dua adalah Xc = 2,324 dengan F(Xc) = 0,00997.
Kelebihan menggunakan Metode Biseksi / bagi dua
adalah untuk mendapatkan akarnya sangatlah mudah hanya menggunakan rumus Xc
yaitu nilai Xa ditambah Xb kemudian dibagi 2 dan kemungkinan kesalahan dalam
perhitungan relatif lebih kecil karena rumus yang digunakan tidak susah.
Kelemahan menggunakan Metode Biseksi / bagi dua
adalah untuk mendapatkan akar-akar yang sesuai dengan toleransi errornya (ε) membutuhkan iterasi yang banyak dan
sangat lambat.
2.
Metode Regula
Falsi
Langkah-langkah
yang harus dilakukan pada Metode Regula Falsi adalah :
-
Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah menentukan dua selang yang akan digunakan untuk mendapatkan potongan
tengahnya, pada soal telah diberi
pendekatan yaitu selangnya berada pada Xa = 1 sampai Xb = 3.
-
Kemudian masukkan nilai Xa =1 dan Xb = 3
ke persamaan F(X) Setelah didapatkan nilai Xa, Xb, dan Xc kemudian masukan ke
dalam Persamaan F(X).
F(X)
= 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
F(Xa) = 2(Xa)3 - 2(Xa)2 – 4(Xa) – 5
F(1)
= 2(1)3 - 2(1)2 – 4(1) – 5
F(1)
= 2 – 2 – 4 -5 = -9
F(Xb) = 2(Xb)3 - 2(Xb)2 – 4(Xb) – 5
F(3)
= 2(3)3 - 2(3)2 – 4(3) – 5
F(3)
= 2(27) – 2(9) – 12 - 5
F(3)
= 54 – 18 – 12 – 5 = 19
-
Setelah itu, Masukkan nilai Xa, Xb,
F(Xa) dan F(Xb) ke dalam rumus Xc yaitu :
-
Nilai Xc telah didapat yaitu Xc = 1,643
maka masukan nilai Xc= 1,643 ke dalam
Persamaan F(X).
F(X)
= 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
F(Xc) = 2(Xc)3 - 2(Xc)2 – 4(Xc) – 5
F(1,643)
= 2(1,643)3 - 2(1,643)2 – 4(1,643) – 5
F(1,643)
= 2(4,435) – 2(2,699) – 4(1,643) -5
F(1,643)
= 8,870 – 5,398 – 6,572 – 5 = -8,101
-
Sehingga didapatkan fungsi dari F(Xa),
F(Xb), dan F(Xc) dan kemudian dimasukkan ke dalam Tabel 1.2 Metode Regula Falsi.
-
Untuk iterasi kedua dan selanjutnya maka
bandingkan nilai F(Xc) dengan nilai F(Xa) dan F(Xb), apabila nilai F(Xc)
bertanda positif maka carilah nilai F(Xa) atau F(Xb) yang bertanda negatif,
begitu juga sebaliknya.
-
Setelah dibandingkan, Masukan lagi nilai
Xc dengan nilai Xa atau Xb, kemudian masukkan ke dalam rumus Xc lagi dan
lakukan berulang-ulang sampai nilai F(Xc) mendekati angka nol (0) atau memenuhi
angka toleransi errornya (ε)
yaitu 0,01.
Bila
disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan dengan Metode Regula Falsi dengan beberapa kali iterasi
adalah sebagai berikut :
|
i
|
Xa
|
Xb
|
Xc
|
f(Xa)
|
f(Xb)
|
f(Xc)
|
Error(%)
|
|
0
|
1
|
3
|
1.642857
|
-9
|
19
|
-8.10131
|
-
|
|
1
|
1.64
|
3
|
2.048544
|
-8.101
|
19
|
-4.39368
|
19.803656
|
|
2
|
2.05
|
3
|
2.227241
|
-4.394
|
19
|
-1.73325
|
8.0232738
|
|
3
|
2.23
|
3
|
2.291842
|
-1.733
|
19
|
-0.59646
|
2.8187246
|
|
4
|
2.29
|
3
|
2.313397
|
-0.596
|
19
|
-0.19551
|
0.9317219
|
|
5
|
2.31
|
3
|
2.32039
|
-0.196
|
19
|
-0.06305
|
0.3013745
|
|
6
|
2.32
|
3
|
2.322638
|
-0.063
|
19
|
-0.02023
|
0.0967843
|
|
7
|
2.32
|
3
|
2.323358
|
-0.02
|
19
|
-0.00648
|
0.0310094
|
Tabel
1.2 Metode Regula Falsi.
Berdasarkan pada tabel
diatas (Tabel 1.2), telah dilakukan
iterasi sebanyak 7 kali.
Pada iterasi ke-7 saat
Xa = 2,32; Xb = 3 dan Xc = 2,323358 nilai F(Xc) telah memenuhi toleransi
errornya (ε)
yaitu 0,00648 karena 0,00648 < 0,01. Jadi, untuk metode regula falsi ini
pada iterasi ke-7 iterasi dapat dihentikan (stop).
Sehingga, akar dari persamaan
F(X) = 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
dengan
menggunakan metode regula falsi adalah Xc = 2,323358.
Kelebihan menggunakan Regula Falsi adalah untuk
mendapatkan akarnya lebih cepat dari pada metode biseksi / bagi dua, sehingga
untuk mendapatkan akar-akar yang sesuai dengan toleransi errornya (ε) tidak membutuhkan iterasi yang banyak
dan berulang-ulang.
Kelemahan menggunakan regula adalah dengan
menggunakan rumus Xc sangat rumit sehingga peluang kesalahan dalam perhitungan
akan semakin banyak.
3.
Metode Newton Raphson
Langkah-langkah
yang harus dilakukan pada Metode Regula Falsi adalah :
-
Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah menentukan nilai titik taksiran Xa yang akan digunakan sebagai taksiran
awal. Berdasarkan grafik pada dasar teori, nilai titik taksiran (Xa) yang akan
digunakan misalnya Xa = 2.
-
Kemudian, Carilah turunan fungsi dari
F(X).
F(X)
= 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
F’(X)
= 6X2
–
4X – 4
-
Setelah diturunkan, masukkan nilai Xa =
2 ke Fungsi F(X) dan ke Turunan Fungsi F’(X).
-
F(Xa)
= 2(Xa)3
-
2(Xa)2 – 4(Xa) – 5
F(2)
= 2(2)3 - 2(2)2 – 4(2) – 5
F(2)
= 2(8) – 2(4) – 8 - 5
F(2)
= 16 – 8 - 8 -5 = -5
-
F’(X)
= 6X2 – 4X – 4
F’(2)
= 6(2)2
–
4(2) – 4
F’(2)
= 6(4) –
4(2) – 4
F’(2)
= 24 – 8 – 4 = 12
-
Sehingga didapatkan nilai Xa, F(X) , dan
F’(X). Kemudian, hitunglah titik taksiran yang baru (Xa+1) dengan
rumus :
-
Setelah didapatkan nilai titik taksiran
yang baru (Xa+1), Masukanlah kedalam Tabel 1.3 Metode Newton Raphson.
-
Pada Metode Newton Raphson tidak perlu
lagi membandingkan fungsi F(X) dengan fungsi lainnya. Langsung dapat terlihat
ketika nilai F(Xa) sudah mendekati angka nol (0) atau memenuhi angka toleransi
errornya (ε)
yaitu 0,01.
Bila
disajikan dalam tabel, maka hasil perhitungan dengan Metode Newton Raphson dengan beberapa kali iterasi
adalah sebagai berikut :
|
i
|
Xa
|
Xa+1
|
f(Xa)
|
f'(Xa)
|
Error(%)
|
|
0
|
2
|
2.417
|
-5
|
12
|
-
|
|
1
|
2.417
|
2.329
|
1.8808
|
21.375
|
3.640967041
|
|
2
|
2.329
|
2.324
|
0.0954
|
19.222
|
0.213166205
|
|
3
|
2.324
|
2.324
|
0.0003
|
19.103
|
0.000664018
|
Tabel
1.3 Metode Newton Raphson.
Berdasarkan pada tabel
diatas (Tabel 1.3), hanya dilakukan
iterasi sebanyak 3 kali.
Pada iterasi ke-3 saat
Xa = 2,324; nilai F(Xa) telah memenuhi toleransi errornya (ε) yaitu 0,0003 karena 0,0003 < 0,01.
Jadi, untuk Metode Newton Raphson ini pada iterasi ke-3 iterasi dapat
dihentikan (stop).
Sehingga, akar dari persamaan
F(X) = 2X3
-
2X2
-
4X
–
5
dengan menggunakan Metode Newton Raphson adalah Xa = 2,324 dengan F(Xa) =
0,003.
Kelebihan menggunakan Metode
Newton Raphson adalah
untuk mendapatkan akarnya sangat cepat dari pada Metode Biseksi / bagi dua
maupun Metode Regula Falsi, sehingga untuk mendapatkan akar-akar yang sesuai
dengan toleransi errornya (ε)
tidak membutuhkan iterasi yang banyak dan berulang-ulang, selain itu rumus yang
digunakan pada Metode Newton Raphson tidak rumit, hanya menggunakan turunan
dari suatu fungsi persamaan F(X), Nilai pada fungsi persamaan F(X) juga
mendapatkan nilai yang mendekati sempurna karena hampir mendekati angka nol
(0).
Kelemahan menggunakan Metode Newton Raphson adalah apabila
suatu fungsi persamaan F(X) sulit untuk diturunkan maka akan sulit masuk ke
dalam perhitungan rumusnya.
Jadi, tidak semua
fungsi F(X) dapat menggunakan Metode
Newton Raphson.
BAB 4
KESIMPULAN
Dari ketiga metode diatas, Dapat diambil
kesimpulan bahwa Metode yang paling mudah digunakan dan kesalahan
perhitungannya relatif kecil adalah Metode Biseksi / bagi dua. Tetapi, Metode
yang paling cepat untuk mendapatkan akar-akar pada suatu fungsi persamaan F(X)
adalah Metode Newton Raphson. Untuk mendapatkan nilai F(X) yang hampir
mendekati angka nol (0) maka gunakan Metode Newton Raphson.
Dari ketiga metode ini, Saya paling menyukai Metode
Biseksi / bagi dua, walaupun harus melakukan iterasi yang berulang-ulang untuk
mendapatkan nilai F(X)nya, tetapi kesalahan yang akan didapat relatif kecil dan
juga Metode Biseksi / bagi dua merupakan metode yang paling simple dan kita
tidak akan pernah lupa rumus serta langkah-langkah yang akan dilakukan.
DAFTAR
PUSTAKA
Indarti,
Dina. 2017. Persamaan Non Linier. https://www.dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id/
sistem-persamaan-non-linier-menggunakan-metode-biseksi/. (Diakses pada tanggal 22
Februari
2017).
